Lagrange 反演

形式 Laurent 级数

我们已经知道形式幂级数环 了，定义形式 Laurent 级数环：

我们可以仿照形式幂级数的乘法逆元定义来定义 上元素的乘法逆元：

若对于 且 存在 满足 那么

与形式幂级数类似的，我们也对非零的 定义：

显然对于 有

形式留数

形式留数是形式 Laurent 级数中 项的系数。记 。

引理：对于任何形式 Laurent 级数 有 。

证明：考虑形式导数的定义 。

引理：对于任何形式 Laurent 级数 有 。

证明：考虑乘法法则 所以 。

引理：对于形式 Laurent 级数 有 。

证明：设 那么

引理：对于形式 Laurent 级数 和形式幂级数 有 。

证明：考虑线性性，我们只需证明 其中 的情况即可，若 那么

若 那么

复合逆

记 。

命题： 存在复合逆 当且仅当 ，此时 是唯一的。进一步说：若 满足 或 那么 。

证明：考虑

因为 所以有下面的方程组

我们只能在 时才能解出第一个等式，然后依次可以解出 。

特别的，考虑 那么 ，进而 。

Lagrange 反演公式

令 满足 。取 （或 ），那么

证明：

一些读者可能会更加熟悉下面的版本：对于 有

或者

发现

可以通过我们已经证明的部分导出。

参考文献

1. Richard P. Stanley and Sergey P. Fomin. Enumerative Combinatorics Volume 2 (Edition 1).
2. Ira M. Gessel. Lagrange Inversion.

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最后更新: 2024年3月29日
创建日期: 2024年3月29日