多项式初等函数

本页面包含多项式常见的初等函数操作。具体而言，本页面包含如下内容：

多项式求逆
多项式开方
多项式除法
多项式取模
多项式指数函数
多项式对数函数
多项式三角函数
多项式反三角函数

初等函数与非初等函数

初等函数的定义如下¹：

若域中存在映射满足：

则称这个域为 微分域。

若微分域上的函数满足以下的任意一条条件，则称该函数为初等函数：

是上的代数函数。
是上的指数性函数，即存在使得 .
是上的对数性函数，即存在使得 .

以下是常见的初等函数：

代数函数：存在有限次多项式使得的函数，如 ,,,.
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
双曲函数
反双曲函数
以上函数的复合，如：

以下是常见的非初等函数：

误差函数：

多项式求逆

给定多项式，求。

解法

倍增法

首先，易知

假设现在已经求出了在模意义下的逆元。有：

两边平方可得：

两边同乘并移项可得：

递归计算即可。

时间复杂度

Newton's Method

参见 Newton's Method.

Graeffe 法

欲求考虑

只需求出即可还原出因为是偶函数，时间复杂度同上。

代码

多项式求逆

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void polyinv(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* f = 1 / h = f_0 (2 - f_0 h) */
  static poly_t inv_t;
  std::fill(f, f + n + n, 0);
  f[0] = fpow(h[0], mod - 2);
  for (int t = 2; t <= n; t <<= 1) {
    const int t2 = t << 1;
    std::copy(h, h + t, inv_t);
    std::fill(inv_t + t, inv_t + t2, 0);

    DFT(f, t2);
    DFT(inv_t, t2);
    for (int i = 0; i != t2; ++i)
      f[i] = (i64)f[i] * sub(2, (i64)f[i] * inv_t[i] % mod) % mod;
    IDFT(f, t2);

    std::fill(f + t, f + t2, 0);
  }
}

例题

有标号简单无向连通图计数：「POJ 1737」Connected Graph

多项式开方

给定多项式，求，满足：

解法

倍增法

首先讨论不为的情况。

易知：

若没有平方根，则多项式没有平方根。

可能有多个平方根，选取不同的根会求出不同的。

假设现在已经求出了在模意义下的平方根，则有：

倍增计算即可。

时间复杂度

还有一种常数较小的写法就是在倍增维护的时候同时维护而不是每次都求逆。

当时，可能需要使用二次剩余来计算。

上述方法需要知道的逆，所以常数项不能为。

若，则将分解成，其中。

若是奇数，则没有平方根。
若是偶数，则求出的平方根，然后得到。

洛谷模板题 P5205【模板】多项式开根参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1 << 20, mod = 998244353;

int a[maxn], b[maxn], g[maxn], gg[maxn];

int qpow(int x, int y) {  // 快速幂
  int ans = 1;

  while (y) {
    if (y & 1) {
      ans = (long long)1 * ans * x % mod;
    }
    x = (long long)1 * x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return ans;
}

int inv2 = qpow(2, mod - 2);  // 逆元

void change(int *f, int len) {
  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
    if (i < j) {
      swap(f[i], f[j]);
    }

    int k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j -= k;
      k /= 2;
    }
    if (j < k) {
      j += k;
    }
  }
}

void NTT(int *f, int len, int type) {  // NTT
  change(f, len);

  for (int q = 2; q <= len; q <<= 1) {
    int nxt = qpow(3, (mod - 1) / q);
    for (int i = 0; i < len; i += q) {
      int w = 1;

      for (int k = i; k < i + (q >> 1); k++) {
        int x = f[k];
        int y = (long long)1 * w * f[k + (q / 2)] % mod;

        f[k] = (x + y) % mod;
        f[k + (q / 2)] = (x - y + mod) % mod;
        w = (long long)1 * w * nxt % mod;
      }
    }
  }

  if (type == -1) {
    reverse(f + 1, f + len);
    int iv = qpow(len, mod - 2);

    for (int i = 0; i < len; i++) {
      f[i] = (long long)1 * f[i] * iv % mod;
    }
  }
}

void inv(int deg, int *f, int *h) {  // 求逆元
  if (deg == 1) {
    h[0] = qpow(f[0], mod - 2);
    return;
  }

  inv(deg + 1 >> 1, f, h);

  int len = 1;
  while (len < deg * 2) {  // 倍增
    len *= 2;
  }

  copy(f, f + deg, gg);
  fill(gg + deg, gg + len, 0);

  NTT(gg, len, 1);
  NTT(h, len, 1);
  for (int i = 0; i < len; i++) {
    h[i] = (long long)1 * (2 - (long long)1 * gg[i] * h[i] % mod + mod) % mod *
           h[i] % mod;
  }

  NTT(h, len, -1);
  fill(h + deg, h + len, 0);
}

int n, t[maxn];

// deg:次数
// f:被开根数组
// h:答案数组
void sqrt(int deg, int *f, int *h) {
  if (deg == 1) {
    h[0] = 1;
    return;
  }

  sqrt(deg + 1 >> 1, f, h);

  int len = 1;
  while (len < deg * 2) {  // 倍增
    len *= 2;
  }
  fill(g, g + len, 0);
  inv(deg, h, g);
  copy(f, f + deg, t);
  fill(t + deg, t + len, 0);
  NTT(t, len, 1);
  NTT(g, len, 1);
  NTT(h, len, 1);

  for (int i = 0; i < len; i++) {
    h[i] = (long long)1 * inv2 *
           ((long long)1 * h[i] % mod + (long long)1 * g[i] * t[i] % mod) % mod;
  }
  NTT(h, len, -1);
  fill(h + deg, h + len, 0);
}

int main() {
  cin >> n;

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
  }
  sqrt(n, a, b);

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    printf("%d ", b[i]);
  }

  return 0;
}

Newton's Method

参见 Newton's Method.

例题

「Codeforces Round #250」E. The Child and Binary Tree

多项式除法 & 取模

给定多项式，求除的商和余数。

解法

发现若能消除的影响则可直接多项式求逆解决。

考虑构造变换

观察可知其实质为反转的系数。

设。

将中的替换成并将其两边都乘上，得到：

注意到上式中的系数为，则将其放到模意义下即可消除带来的影响。

又因的次数为，故不会受到影响。

则：

使用多项式求逆即可求出，将其反代即可得到。

时间复杂度 。

多项式对数函数 & 指数函数

给定多项式，求模意义下的与。

解法

普通方法

多项式对数函数多项式指数函数

首先，对于多项式，若存在，则由其定义，其必须满足：

对求导再积分，可得：

多项式的求导，积分时间复杂度为，求逆时间复杂度为，故多项式求时间复杂度。

首先，对于多项式，若存在，则其必须满足：

否则的常数项不收敛。

对求导，可得：

比较两边系数可得：

使用分治 FFT 即可解决。

时间复杂度 。

Newton's Method

使用 Newton's Method 即可在的时间复杂度内解决多项式。

代码

多项式 ln/exp

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void derivative(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = 1; i != n; ++i) f[i - 1] = (i64)h[i] * i % mod;
  f[n - 1] = 0;
}

void integrate(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = n - 1; i; --i) f[i] = (i64)h[i - 1] * inv[i] % mod;
  f[0] = 0; /* C */
}

void polyln(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* f = ln h = ∫ h' / h dx */
  assert(h[0] == 1);
  static poly_t ln_t;
  const int t = n << 1;

  derivative(h, n, ln_t);
  std::fill(ln_t + n, ln_t + t, 0);
  polyinv(h, n, f);

  DFT(ln_t, t);
  DFT(f, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) ln_t[i] = (i64)ln_t[i] * f[i] % mod;
  IDFT(ln_t, t);

  integrate(ln_t, n, f);
}

void polyexp(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* f = exp(h) = f_0 (1 - ln f_0 + h) */
  assert(h[0] == 0);
  static poly_t exp_t;
  std::fill(f, f + n + n, 0);
  f[0] = 1;
  for (int t = 2; t <= n; t <<= 1) {
    const int t2 = t << 1;

    polyln(f, t, exp_t);
    exp_t[0] = sub(pls(h[0], 1), exp_t[0]);
    for (int i = 1; i != t; ++i) exp_t[i] = sub(h[i], exp_t[i]);
    std::fill(exp_t + t, exp_t + t2, 0);

    DFT(f, t2);
    DFT(exp_t, t2);
    for (int i = 0; i != t2; ++i) f[i] = (i64)f[i] * exp_t[i] % mod;
    IDFT(f, t2);

    std::fill(f + t, f + t2, 0);
  }
}

例题

计算

普通做法为多项式快速幂，时间复杂度。

当时，有：

当时，设的最低次项为，则：

时间复杂度 。

多项式三角函数

给定多项式，求模意义下的与。

解法

首先由 Euler's formula 可以得到三角函数的另一个表达式：

那么代入就有：

直接按上述表达式编写程序即可得到模意义下的与。再由可求得。

代码

多项式三角函数

注意到我们是在上做 NTT，那么相应地，虚数单位应该被换成或：

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;
constexpr int imgunit = 86583718; /* sqrt(-1) = sqrt(998233452) */

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void polytri(const poly &h, const int n, poly &sin_t, poly &cos_t) {
  /* sin(f) = (exp(i * f) - exp(- i * f)) / 2i */
  /* cos(f) = (exp(i * f) + exp(- i * f)) / 2 */
  /* tan(f) = sin(f) / cos(f) */
  assert(h[0] == 0);
  static poly_t tri1_t, tri2_t;

  for (int i = 0; i != n; ++i) tri2_t[i] = (i64)h[i] * imgunit % mod;
  polyexp(tri2_t, n, tri1_t);
  polyinv(tri1_t, n, tri2_t);

  if (sin_t != nullptr) {
    const int invi = fpow(pls(imgunit, imgunit), mod - 2);
    for (int i = 0; i != n; ++i)
      sin_t[i] = (i64)(tri1_t[i] - tri2_t[i] + mod) * invi % mod;
  }
  if (cos_t != nullptr) {
    for (int i = 0; i != n; ++i) cos_t[i] = div2(pls(tri1_t[i], tri2_t[i]));
  }
}

多项式反三角函数

给定多项式，求模意义下的与。

解法

仿照求多项式的方法，对反三角函数求导再积分可得：

那么代入就有：

直接按式子求就可以了。

代码

多项式反三角函数

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void derivative(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = 1; i != n; ++i) f[i - 1] = (i64)h[i] * i % mod;
  f[n - 1] = 0;
}

void integrate(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = n - 1; i; --i) f[i] = (i64)h[i - 1] * inv[i] % mod;
  f[0] = 0; /* C */
}

void polyarcsin(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* arcsin(f) = ∫ f' / sqrt(1 - f^2) dx  */
  static poly_t arcsin_t;
  const int t = n << 1;
  std::copy(h, h + n, arcsin_t);
  std::fill(arcsin_t + n, arcsin_t + t, 0);

  DFT(arcsin_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arcsin_t[i] = sqr(arcsin_t[i]);
  IDFT(arcsin_t, t);

  arcsin_t[0] = sub(1, arcsin_t[0]);
  for (int i = 1; i != n; ++i)
    arcsin_t[i] = arcsin_t[i] ? mod - arcsin_t[i] : 0;

  polysqrt(arcsin_t, n, f);
  polyinv(f, n, arcsin_t);
  derivative(h, n, f);

  DFT(f, t);
  DFT(arcsin_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arcsin_t[i] = (i64)f[i] * arcsin_t[i] % mod;
  IDFT(arcsin_t, t);

  integrate(arcsin_t, n, f);
}

void polyarccos(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* arccos(f) = - ∫ f' / sqrt(1 - f^2) dx  */
  polyarcsin(h, n, f);
  for (int i = 0; i != n; ++i) f[i] = f[i] ? mod - f[i] : 0;
}

void polyarctan(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* arctan(f) = ∫ f' / (1 + f^2) dx  */
  static poly_t arctan_t;
  const int t = n << 1;
  std::copy(h, h + n, arctan_t);
  std::fill(arctan_t + n, arctan_t + t, 0);

  DFT(arctan_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arctan_t[i] = sqr(arctan_t[i]);
  IDFT(arctan_t, t);

  inc(arctan_t[0], 1);
  std::fill(arctan_t + n, arctan_t + t, 0);

  polyinv(arctan_t, n, f);
  derivative(h, n, arctan_t);

  DFT(f, t);
  DFT(arctan_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arctan_t[i] = (i64)f[i] * arctan_t[i] % mod;
  IDFT(arctan_t, t);

  integrate(arctan_t, n, f);
}

参考资料与链接

Elementary function——Wikipedia ↩

最后更新: October 17, 2023
创建日期: April 16, 2023