最大公约数

定义

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。 是任意一组整数的公约数。

一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。

对不全为 的整数 ，将其最大公约数记为 ，不引起歧义时可简写为 。

对不全为 的整数 ，将其最大公约数记为 ，不引起歧义时可简写为 。

最大公约数与最小公倍数的性质见 数论基础。

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

欧几里得算法

过程

如果我们已知两个数 和 ，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设 。

我们发现如果 是 的约数，那么 就是二者的最大公约数。 下面讨论不能整除的情况，即 ，其中 。

我们通过证明可以得到 ，过程如下：

证明

设 ，显然有 。设 ，则 。

由右边的式子可知 为整数，即 ，所以对于 的公约数，它也会是 的公约数。

反过来也需要证明：

设 ，我们还是可以像之前一样得到以下式子 。

因为左边式子显然为整数，所以 也为整数，即 ，所以 的公约数也是 的公约数。

既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同。

所以得到式子

既然得到了 ，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

实现

C++JavaPython

// Version 1
int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

// Version 1
public int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
public int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

递归至 b == 0（即上一步的 a % b == 0）的情况再返回值即可。

根据上述递归求法，我们也可以写出一个迭代求法：

C++JavaPython

int gcd(int a, int b) {
  while (b != 0) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp % b;
  }
  return a;
}

public int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int tmp = a;
        a = b;
        b = tmp % b;
    }
    return a;
}

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

上述算法都可被称作欧几里得算法（Euclidean algorithm）。

另外，对于 C++17，我们可以使用 <numeric> 头中的 std::gcd 与 std::lcm 来求最大公约数和最小公倍数。

注意

在部分编译器中，C++14 中可以用 std::__gcd(a,b) 函数来求最大公约数，但是其仅作为 std::rotate 的私有辅助函数。¹使用该函数可能会导致预期之外的问题，故一般情况下不推荐使用。

如果两个数 和 满足 ，我们称 和 互质。

性质

欧几里得算法的时间效率如何呢？下面我们证明，在输入为两个长为 的二进制整数时，欧几里得算法的时间复杂度为 。（换句话说，在默认 同阶的情况下，时间复杂度为 。）

证明

当我们求 的时候，会遇到两种情况：

• ，这时候 ；
• ，这时候 ，而对 取模会让 至少折半。这意味着这一过程最多发生 次。

第一种情况发生后一定会发生第二种情况，因此第一种情况的发生次数一定 不多于 第二种情况的发生次数。

从而我们最多递归 次就可以得出结果。

事实上，假如我们试着用欧几里得算法去求 斐波那契数列 相邻两项的最大公约数，会让该算法达到最坏复杂度。

更相减损术

大整数取模的时间复杂度较高，而加减法时间复杂度较低。针对大整数，我们可以用加减代替乘除求出最大公约数。

过程

已知两数 和 ，求 。

不妨设 ，若 ，则 。 否则，，可以证明 。

因此， 和 的 所有 公因数都是 和 的公因数，。

Stein 算法的优化

如果 ，更相减损术的 复杂度将会达到最坏情况。

考虑一个优化，若 ，。

否则，若 （ 同理），因为 的情况已经讨论过了，所以 。因此 。

优化后的算法（即 Stein 算法）时间复杂度是 。

证明

若 或 ，每次递归至少会将 之一减半。

否则，，回到了上一种情况。

算法最多递归 次。

实现

高精度模板见 高精度计算。

高精度运算需实现：减法、大小比较、左移、右移（可用低精乘除代替）、二进制末位 0 的个数（可以通过判断奇偶暴力计算）。

C++

Big gcd(Big a, Big b) {
  if (a == 0) return b;
  if (b == 0) return a;
  // 记录a和b的公因数2出现次数，countr_zero表示二进制末位0的个数
  int atimes = countr_zero(a);
  int btimes = countr_zero(b);
  int mintimes = min(atimes, btimes);
  a >>= atimes;
  for (;;) {
    // a和b公因数中的2已经计算过了，后面不可能出现a为偶数的情况
    b >>= btimes;
    // 确保 a<=b
    if (a > b) swap(a, b);
    b -= a;
    if (b == 0) break;
    btimes = countr_zero(b);
  }
  return a << mintimes;
}

上述代码参考了 libstdc++ 和 MSVC 对 C++17 std::gcd 的实现。在 unsigned int 和 unsigned long long 的数据范围下，如果可以以极快的速度计算 countr_zero，则 Stein 算法比欧几里得算法来得快，但反之则可能比欧几里得算法慢。

关于 countr_zero

1. gcc 有 内建函数 __builtin_ctz（32 位）或 __builtin_ctzll（64 位）可替换上述代码的 countr_zero；
2. 从 C++20 开始，头文件 <bit> 包含了 std::countr_zero；
3. 如果不使用不在标准库的函数，又无法使用 C++20 标准，下面的代码是一种在 Word-RAM with multiplication 模型下经过预处理后 的实现：

constexpr int loghash[64] = {0,  32, 48, 56, 60, 62, 63, 31, 47, 55, 59, 61, 30,
                             15, 39, 51, 57, 28, 46, 23, 43, 53, 58, 29, 14, 7,
                             35, 49, 24, 44, 54, 27, 45, 22, 11, 37, 50, 25, 12,
                             38, 19, 41, 52, 26, 13, 6,  3,  33, 16, 40, 20, 42,
                             21, 10, 5,  34, 17, 8,  36, 18, 9,  4,  2,  1};

int countr_zero(unsigned long long x) {
  return loghash[(x & -x) * 0x9150D32D8EB9EFC0Ui64 >> 58];
}

而对于高精度运算，如果实现方法类似 bitset，则搭配上述对 countr_zero 的实现可以在 O(n / w) 的时间复杂度下完成。但如果不便按二进制位拆分，则只能暴力判断最大的 的幂因子，时间复杂度取决于实现。比如：

// 以小端序实现的二进制 Big，要求能枚举每一个元素
int countr_zero(Big a) {
  int ans = 0;
  for(auto x : a) {
    if(x != 0) {
      ans += 32; // 每一位数据类型的位长
    }
    else {
      return ans + countr_zero(x);
    }
  }
  return ans;
}

// 暴力计算，如需使用建议直接写进 gcd 加快常数
int countr_zero(Big a) {
  int ans = 0;
  while((a & 1) == 0) {
    a >>= 1;
    ++ans;
  }
  return ans;
}

更多关于 gcd 实现上快慢的讨论可阅读 Fastest way to compute the greatest common divisor。

多个数的最大公约数

那怎么求多个数的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数。我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响。

最小公倍数

接下来我们介绍如何求解最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）。

定义

一组整数的公倍数，是指同时是这组数中每一个数的倍数的数。0 是任意一组整数的公倍数。

一组整数的最小公倍数，是指所有正的公倍数里面，最小的一个数。

对整数 ，将其最小公倍数记为 ，不引起歧义时可简写为 。

对整数 ，将其最小公倍数记为 ，不引起歧义时可简写为 。

两个数

设 ，

我们发现，对于 和 的情况，二者的最大公约数等于

最小公倍数等于

由于

所以得到结论是

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。

多个数

可以发现，当我们求出两个数的 时，求最小公倍数是 的复杂度。那么对于多个数，我们其实没有必要求一个共同的最大公约数再去处理，最直接的方法就是，当我们算出两个数的 ，或许在求多个数的 时候，我们将它放入序列对后面的数继续求解，那么，我们转换一下，直接将最小公倍数放入序列即可。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求 的一组可行解。

过程

设

由欧几里得定理可知：

所以

又因为

所以

因为 ，所以

将 不断代入递归求解直至 （最大公约数，下同）为 递归 回去求解。

实现

C++Python

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

def Exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = Exgcd(b, a % b)
    return d, y, x - (a // b) * y

函数返回的值为 ，在这个过程中计算 即可。

值域分析

的解有无数个，显然其中有的解会爆 long long。
万幸的是，若 ，扩展欧几里得算法求出的可行解必有 。
下面给出这一性质的证明。

证明

• 时，，必在下一层终止递归。
  得到 ，显然 。
• 时，设 。
  因为
  所以
  
  
  因此 成立。

迭代法编写扩展欧几里得算法

首先，当 ，，， 时，显然有：

成立。

已知 ，下面令 。参考迭代法求 gcd，每一轮的迭代过程可以表示为：

将迭代过程中的 替换为 ， 替换为 ，可以得到：

据此就可以得到迭代法求 exgcd。

因为迭代的方法避免了递归，所以代码运行速度将比递归代码快一点。

int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  x = 1, y = 0;
  int x1 = 0, y1 = 1, a1 = a, b1 = b;
  while (b1) {
    int q = a1 / b1;
    tie(x, x1) = make_tuple(x1, x - q * x1);
    tie(y, y1) = make_tuple(y1, y - q * y1);
    tie(a1, b1) = make_tuple(b1, a1 - q * b1);
  }
  return a1;
}

如果你仔细观察 和 ，你会发现，他们在迭代版本的欧几里德算法中取值完全相同，并且以下公式无论何时（在 while 循环之前和每次迭代结束时）都是成立的： 和 。因此，该算法肯定能正确计算出 。

最后我们知道 就是要求的 ，有 。

矩阵的解释

对于正整数 和 的一次辗转相除即 使用矩阵表示如

其中向下取整符号 表示不大于 的最大整数。我们定义变换 。

易发现欧几里得算法即不停应用该变换，有

令

那么

满足 即扩展欧几里得算法，注意在最后乘了一个单位矩阵不会影响结果，提示我们可以在开始时维护一个 的单位矩阵编写更简洁的迭代方法如

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  int x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1;
  while (b != 0) {
    int c = a / b;
    std::tie(x1, x2, x3, x4, a, b) =
        std::make_tuple(x3, x4, x1 - x3 * c, x2 - x4 * c, b, a - b * c);
  }
  x = x1, y = x2;
  return a;
}

这种表述相较于递归更简单。

应用

• 10104 - Euclid Problem
• GYM - (J) once upon a time
• UVa - 12775 - Gift Dilemma

参考资料与链接

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1. libstdc++: std Namespace Reference ↩

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最后更新: 2024年12月11日
创建日期: 2018年7月11日