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离散对数

定义

前置知识：阶与原根。

离散对数的定义方式和对数类似。取有原根的正整数模数 ，设其一个原根为 . 对满足 的整数 ，我们知道必存在唯一的整数 使得

我们称这个 为以 为底，模 的离散对数，记作 ，在不引起混淆的情况下可记作 .

显然 ，.

性质

离散对数的性质也和对数有诸多类似之处。

性质

设 是模 的原根，，则：

  1. 进而

  2. 若 也是模 的原根，则

证明

  2. 令 ，则 . 又令 ，则 .

    故 ，即

  3. 注意到

大步小步算法

目前离散对数问题仍不存在多项式时间经典算法（离散对数问题的输入规模是输入数据的位数）。在密码学中，基于这一点人们设计了许多非对称加密算法，如 Ed25519。

在算法竞赛中，BSGS（baby-step giant-step，大步小步算法）常用于求解离散对数问题。形式化地说，对 ，该算法可以在 的时间内求解

其中 。方程的解 满足 .（注意 不一定是素数）

算法描述

令 ，其中 ，则有 ，稍加变换，则有 .

我们已知的是 ，所以我们可以先算出等式右边的 的所有取值，枚举 ，用 hash/map 存下来，然后逐一计算 ，枚举 ，寻找是否有与之相等的 ，从而我们可以得到所有的 ，.

注意到 均小于 ，所以时间复杂度为 ，用 map 则多一个 .

为什么要求 与 互质

注意到我们求出的是 ，我们需要保证从 可以推回 ，后式是前式左右两边除以 得到，所以必须有 即 .

进阶篇

对 ，，求解

该问题可以转化为 BSGS 求解的问题。

由于式子中的模数 是一个质数，那么 一定存在一个原根 . 因此对于模 意义下的任意的数 有且仅有一个数 满足 .

方法一

我们令 ， 是 的原根（我们一定可以找到这个 和 ），问题转化为求解 . 稍加变换，得到

于是就转换成了 BSGS 的基本模型了，可以在 解出 ，这样可以得到原方程的一个特解 .

方法二

我们仍令 ，并且设 ，于是我们得到

方程两边同时取离散对数得到

我们可以通过 BSGS 求解 得到 ，于是这就转化成了一个线性同余方程的问题。这样也可以解出 ，求出 的一个特解 .

找到所有解

在知道 的情况下，我们想得到原问题的所有解。首先我们知道 ，于是可以得到

于是得到所有解为

对于上面这个式子，显然有 . 因此我们设 ，得到

这就是原问题的所有解。

实现

下面的代码实现的找原根、离散对数解和原问题所有解的过程。

参考代码 
int gcd(int a, int b) { return a ? gcd(b % a, a) : b; }

int powmod(int a, int b, int p) {
  int res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a % p;
    a = a * a % p, b >>= 1;
  }
  return res;
}

// Finds the primitive root modulo p
int generator(int p) {
  vector<int> fact;
  int phi = p - 1, n = phi;
  for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
    if (n % i == 0) {
      fact.push_back(i);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  }
  if (n > 1) fact.push_back(n);
  for (int res = 2; res <= p; ++res) {
    bool ok = true;
    for (int factor : fact) {
      if (powmod(res, phi / factor, p) == 1) {
        ok = false;
        break;
      }
    }
    if (ok) return res;
  }
  return -1;
}

// This program finds all numbers x such that x^k=a (mod n)
int main() {
  int n, k, a;
  scanf("%d %d %d", &n, &k, &a);
  if (a == 0) return puts("1\n0"), 0;
  int g = generator(n);
  // Baby-step giant-step discrete logarithm algorithm
  int sq = (int)sqrt(n + .0) + 1;
  vector<pair<int, int>> dec(sq);
  for (int i = 1; i <= sq; ++i)
    dec[i - 1] = {powmod(g, i * sq * k % (n - 1), n), i};
  sort(dec.begin(), dec.end());
  int any_ans = -1;
  for (int i = 0; i < sq; ++i) {
    int my = powmod(g, i * k % (n - 1), n) * a % n;
    auto it = lower_bound(dec.begin(), dec.end(), make_pair(my, 0));
    if (it != dec.end() && it->first == my) {
      any_ans = it->second * sq - i;
      break;
    }
  }
  if (any_ans == -1) return puts("0"), 0;
  // Print all possible answers
  int delta = (n - 1) / gcd(k, n - 1);
  vector<int> ans;
  for (int cur = any_ans % delta; cur < n - 1; cur += delta)
    ans.push_back(powmod(g, cur, n));
  sort(ans.begin(), ans.end());
  printf("%zu\n", ans.size());
  for (int answer : ans) printf("%d ", answer);
}

扩展篇（扩展 BSGS）

对 ，求解

其中 不一定互质。

当 时，在模 意义下 存在逆元，因此可以使用 BSGS 算法求解。于是我们想办法让他们变得互质。

具体地，设 . 如果 ，则原方程无解。否则我们把方程同时除以 ，得到

如果 和 仍不互质就再除，设 . 如果 ，则方程无解；否则同时除以 得到

同理，这样不停的判断下去，直到 .

记 ，于是方程就变成了这样：

由于 ，于是推出 . 这样 就有逆元了，于是把它丢到方程右边，这就是一个普通的 BSGS 问题了，于是求解 后再加上 就是原方程的解啦。

注意，不排除解小于等于 的情况，所以在消因子之前做一下 枚举，直接验证 ，这样就能避免这种情况。

习题

本页面部分内容以及代码译自博文 Дискретное извлечение корня 与其英文翻译版 Discrete Root。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

参考资料

  1. Discrete logarithm - Wikipedia
  2. 潘承洞，潘承彪。初等数论。
  3. 冯克勤。初等数论及其应用。
最后更新: 2024年10月9日
创建日期: 2018年7月11日
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