同余最短路

当出现形如「给定个整数，求这个整数能拼凑出多少的其他整数（个整数可以重复取）」，以及「给定个整数，求这个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数」，或者「至少要拼几次才能拼出模余的数」的问题时可以使用同余最短路的方法。

同余最短路利用同余来构造一些状态，可以达到优化空间复杂度的目的。

类比差分约束方法，利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的，类似单源最短路中。

例题

例题一

P3403 跳楼机

题目大意：给定 $，，，$ ，对于，有多少个能够满足。（，，）

不妨假设。

令为只通过 操作 2 和 操作 3，需满足能够达到的最低楼层，即 操作 2 和 操作 3 操作后能得到的模下与同余的最小数，用来计算该同余类满足条件的数个数。

可以得到两个状态：

注意通常选取一组中最小的那个数对它取模，也就是此处的，这样可以尽量减小空间复杂度（剩余系最小）。

那么实际上相当于执行了最短路中的建边操作：

add(i, (i+y) % x, y)

add(i, (i+z) % x, z)

接下来只需要求出，只需要跑一次最短路就可求出相应的。

与差分约束问题相同，当存在一组解时，同样为一组解，因此在该题让作为源点，此时源点处的在已知范围内最小，因此得到的也是一组最小的解。

答案即为：

加 1 是由于所在楼层也算一次。

代码实现上注意到的范围是，所以在求解最短路之前的初始值应至少设为，这超过了 C++ 中 long long 的最大值。所以可以使用 unsigned long long 或者先把，然后把最低楼层设为层，其他代码无异。

参考实现

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;
using ll = long long;
constexpr int MAXN = 100010;
constexpr ll linf = (1ull << 63) - 1;

ll h, x, y, z;
ll head[MAXN << 1], tot;
ll dis[MAXN], vis[MAXN];
queue<int> q;

struct edge {
  ll to, next, w;
} e[MAXN << 1];

void add(ll u, ll v, ll w) {
  e[++tot] = edge{v, head[u], w};
  head[u] = tot;
}

void spfa() {  // spfa算法，可看最短路部分
  dis[0] = 0;
  vis[0] = 1;
  q.push(0);
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    vis[u] = 0;
    for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
      int v = e[i].to, w = e[i].w;
      if (dis[v] > dis[u] + w) {
        dis[v] = dis[u] + w;
        if (!vis[v]) {
          q.push(v);
          vis[v] = 1;
        }
      }
    }
  }
}

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> h;
  cin >> x >> y >> z;
  if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {
    cout << h << '\n';
    return 0;
  }
  --h;
  for (int i = 0; i < x; i++) {
    add(i, (i + z) % x, z);
    add(i, (i + y) % x, y);
    dis[i] = linf;
  }
  spfa();
  ll ans = 0;
  for (int i = 0; i < x; i++) {
    if (h >= dis[i]) ans += (h - dis[i]) / x + 1;
  }
  cout << ans << '\n';
  return 0;
}