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L3-009 长城

Statement

Metadata

  • 作者: 邓俊辉
  • 单位: 清华大学
  • 代码长度限制: 16 KB
  • 时间限制: 500 ms
  • 内存限制: 64 MB

正如我们所知，中国古代长城的建造是为了抵御外敌入侵。在长城上，建造了许多烽火台。每个烽火台都监视着一个特定的地区范围。一旦某个地区有外敌入侵，值守在对应烽火台上的士兵就会将敌情通报给周围的烽火台，并迅速接力地传递到总部。

现在如图1所示，若水平为南北方向、垂直为海拔高度方向，假设长城就是依次相联的一系列线段，而且在此范围内的任一垂直线与这些线段有且仅有唯一的交点。

图 1

进一步地，假设烽火台只能建造在线段的端点处。我们认为烽火台本身是没有高度的，每个烽火台只负责向北方（图1中向左）瞭望，而且一旦有外敌入侵，只要敌人与烽火台之间未被山体遮挡，哨兵就会立即察觉。当然，按照这一军规，对于南侧的敌情各烽火台并不负责任。一旦哨兵发现敌情，他就会立即以狼烟或烽火的形式，向其南方的烽火台传递警报，直到位于最南侧的总部。

以图2中的长城为例，负责守卫的四个烽火台用蓝白圆点示意，最南侧的总部用红色圆点示意。如果红色星形标示的地方出现敌情，将被哨兵们发现并沿红色折线将警报传递到总部。当然，就这个例子而言只需两个烽火台的协作，但其他位置的敌情可能需要更多。

然而反过来，即便这里的4个烽火台全部参与，依然有不能覆盖的（黄色）区域。

图 2

另外，为避免歧义，我们在这里约定，与某个烽火台的视线刚好相切的区域都认为可以被该烽火台所监视。以图3中的长城为例，若A、B、C、D点均共线，且在D点设置一处烽火台，则A、B、C以及线段BC上的任何一点都在该烽火台的监视范围之内。

图 3

好了，倘若你是秦始皇的太尉，为不致出现更多孟姜女式的悲剧，如何在保证长城安全的前提下，使消耗的民力（建造的烽火台）最少呢？

输入格式

输入在第一行给出一个正整数N（3 \le N \le 10^5），即刻画长城边缘的折线顶点（含起点和终点）数。随后N行，每行给出一个顶点的x和y坐标，其间以空格分隔。注意顶点从南到北依次给出，第一个顶点为总部所在位置。坐标为区间[-10^9, 10^9)内的整数，且没有重合点。

输出格式

在一行中输出所需建造烽火台（不含总部）的最少数目。

输入样例 

10
67 32
48 -49
32 53
22 -44
19 22
11 40
10 -65
-1 -23
-3 31
-7 59

输出样例 

2

Solution

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define N 100010
int n;
int x[N], y[N];
int sta[N], top;
int vis[N];

ll Cross(int a, int b, int c) {
    ll X[2] = {x[b] - x[a], x[c] - x[a]};
    ll Y[2] = {y[b] - y[a], y[c] - y[a]};
    return X[0] * Y[1] - X[1] * Y[0];
}

int main() {
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        for (int i = n; i >= 1; --i) scanf("%d%d", x + i, y + i);
        top = 0;
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (int i = n; i >= 1; --i) {
            if (top >= 1) {
                while (top >= 2 && Cross(sta[top - 1], sta[top], i) <= 0) --top;
                vis[sta[top]] = 1;
            }
            sta[++top] = i;
        }
        printf("%d\n", accumulate(vis + 1, vis + 1 + n, 0) - 1);
    }
    return 0;
}
Last update: May 4, 2022
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